maths.free › Geometry › Transformations: translation, rotation, reflection, dilation

Transformations: translation, rotation, reflection, dilation

Rigid motions and scalings, and the matrices that perform them.

Translations slide, rotations turn, reflections flip, dilations scale. The first three preserve distances (isometries); dilation preserves shape. Picture it: the 2×2 matrix [[0,−1],[1,0]] turns every vector a quarter turn. The 3D view shows the unit square rotating. Think it: transformations compose, invert and form a group, which is where abstract algebra begins.

Ví dụ đã làm · inverse of [[0,-1],[1,0]]

Linear-Algebra · Matrix-Inverse

Inverse of [[0,-1],[1,0]]

\left[\begin{matrix}0 & -1\\1 & 0\end{matrix}\right]

Bước một bước

  1. \det A = 1

    A matrix is invertible only when its determinant is non-zero.

  2. A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{1}\left[\begin{matrix}0 & 1\\-1 & 0\end{matrix}\right]

    For 2×2: swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by the determinant.

  3. A^{-1} = \left[\begin{matrix}0 & 1\\-1 & 0\end{matrix}\right]

Giải đáp
A^{-1} = \left[\begin{matrix}0 & 1\\-1 & 0\end{matrix}\right]

Now you Chọn một bài toán, hoặc gõ hoặc vẽ của riêng mình. Mỗi bước, một bức tranh, câu trả lời ẩn cho đến khi bạn hỏi.

Để cho anh làm việc

Một tài khoản miễn phí thêm ghi chú vào mỗi bài học, ghi chép những gì bạn đã hoàn thành, các bài toán bạn giải quyết ở một nơi, và một giáo viên bạn có thể hỏi về trang này. Toán học là mở cho mọi người, dù có đăng nhập hay không.

Đăng ký Đăng nhập

Ký hiệu được dùng ở đây

Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.

Làm thế nào: Transformations: translation, rotation, reflection, dilation

  1. Identify the transformation type from what is preserved: lengths (isometry) or only angles (similarity).
  2. Write it as a matrix acting on column vectors, plus a translation vector if there is one.
  3. Apply it to each vertex; compose by multiplying matrices in the order the moves happen (right to left).

Câu hỏi người ta hỏi

Why does every triangle have angles adding to 180°?

Draw a line through one vertex parallel to the opposite side: the two alternate angles equal the other two angles of the triangle, and the three angles at the vertex lie on a straight line. That is Euclid's proof, and it is why the fact holds only on a flat plane.

When do I use the law of sines versus the law of cosines?

Cosines when you know three sides, or two sides and the angle between them. Sines when you know an angle and the side opposite it, plus one more piece.

What is the difference between area and perimeter?

Perimeter is the length of the boundary (one dimension, measured in metres); area is the amount of surface inside (two dimensions, square metres). Doubling every side doubles the perimeter but quadruples the area.

More in Geometry

TrianglesPythagorean theoremCirclesPolygonsSolidsCoordinate geometryEuclid's axioms and the structure of proofCongruent and similar trianglesCircle theoremsSolid geometry: prisms, pyramids, spheres