maths.free › Differential Geometry › Curves, arc length and curvature
Curves, arc length and curvature
Parametrised curves, the unit tangent, curvature as the turning rate.
Arc length is ∫|r′(t)| dt; curvature is how fast the unit tangent turns per unit length. A circle of radius R has curvature 1/R. Picture it: the parabola y = x² curving most tightly at its vertex. Think it: curvature and torsion determine a space curve up to rigid motion (the fundamental theorem of curves).
Робочий приклад · integrate sqrt(1 + 4x^2) dx from 0 to 1
Integrate sqrt(4x^2 + 1) from 0 to 1
Крок за кроком
- \int_{0}^{1} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{4}
SqrtQuadratic rule.
- F(1) - F(0) = \left(\frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) - \left(0\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.4789
Simplify.
Показати відповідь
Тепер ти Виберіть проблему або наберіть її на зразок. Кожен крок, малюнок, відповідь, сховану до того часу, доки ви не запитаєте.
Вільний рахунок додає нотатки до кожного уроку, запису того, що ви завершили, ваших розв' язаних проблем у одному місці, і репетитора, який ви можете запитати про цю сторінку. Сама математика відкрита для всіх, підписані чи ні.
Підписування ВхідСимволи, що тут використовуються
Взяти будь-який символ до повного визначення, зображення і що означає кожна літера.
Як це зробити?: Curves, arc length and curvature
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- SqrtQuadratic rule.
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
Запитання людей
What is curvature?
For a curve, how fast its direction turns per unit length; for a surface, Gauss's combination of the two principal bendings, and Gauss's theorem says it can be measured from inside the surface without leaving it.