maths.free › Differential Geometry › Curves, arc length and curvature
Curves, arc length and curvature
Parametrised curves, the unit tangent, curvature as the turning rate.
Arc length is ∫|r′(t)| dt; curvature is how fast the unit tangent turns per unit length. A circle of radius R has curvature 1/R. Picture it: the parabola y = x² curving most tightly at its vertex. Think it: curvature and torsion determine a space curve up to rigid motion (the fundamental theorem of curves).
ឧទាហរណ៍ដែលបានធ្វើ · integrate sqrt(1 + 4x^2) dx from 0 to 1
Integrate sqrt(4x^2 + 1) from 0 to 1
ជំហានដោយជំហាន
- \int_{0}^{1} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{4}
SqrtQuadratic rule.
- F(1) - F(0) = \left(\frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) - \left(0\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.4789
Simplify.
បង្ហាញចម្លើយ
ឥឡូវអ្នក ជ្រើសបញ្ហា ឬវាយបញ្ចូល ឬគូររបស់អ្នកផ្ទាល់ ។ ជំហាននីមួយៗ រូបភាព ចម្លើយត្រូវបានលាក់រហូតដល់អ្នកសួរ ។
គណនីឥតគិតថ្លៃបន្ថែមចំណាំលើមេរៀននីមួយៗ កំណត់ហេតុនៃអ្វីដែលអ្នកបានបញ្ចប់ បញ្ហាដែលអ្នកបានដោះស្រាយនៅកន្លែងមួយ និងគ្រូដែលអ្នកអាចសួរអំពីទំព័រនេះ ។ គណិតវិទ្យាដោយខ្លួនវាគឺបើកចំហសម្រាប់អ្នកទាំងអស់គ្នា ចុះឈ្មោះចូល ឬមិនចុះឈ្មោះចូល ។
ចុះឈ្មោះ ចូលនិមិត្តសញ្ញាដែលបានប្រើនៅទីនេះ
ចុចនិមិត្តសញ្ញាណាមួយសម្រាប់ការកំណត់ពេញលេញ រូបភាព និងតួអក្សរនីមួយៗមានន័យអ្វី ។
របៀប: Curves, arc length and curvature
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- SqrtQuadratic rule.
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
សំណួរដែលមនុស្សសួរ
What is curvature?
For a curve, how fast its direction turns per unit length; for a surface, Gauss's combination of the two principal bendings, and Gauss's theorem says it can be measured from inside the surface without leaving it.