maths.free › Complex Analysis › Power series and analytic continuation

Power series and analytic continuation

Radius of convergence, the identity theorem, and extending ζ(s) beyond its series.

A holomorphic function equals its Taylor series on the largest disc avoiding singularities. Two holomorphic functions agreeing on a small set agree everywhere they are both defined, so a function can be extended uniquely, which is how ζ(s) exists at s = −1 (and equals −1/12). Picture it: the geometric series 1/(1 − x) converging inside |x| < 1, though the function lives everywhere except x = 1. Think it: this rigidity is the engine of the Riemann Hypothesis page.

Օրինակ · taylor series of 1/(1-x)

Calculus · Taylor-Series

Taylor series of 1/(1 - x)

\frac{1}{1 - x}

Քայլ առ քայլ

f(x) = \frac{1}{1 - x}
Taylor series about x = 0: f(x) = Σ fᵏ(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ.
f^{(0)}(0) = \frac{1}{1 - x}\big|_{x=0} = 1
Derivative 0 at the centre.
f^{(1)}(0) = \frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}}\big|_{x=0} = 1
Derivative 1 at the centre.
f^{(2)}(0) = - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\big|_{x=0} = 2
Derivative 2 at the centre.
f^{(3)}(0) = \frac{6}{\left(x - 1\right)^{4}}\big|_{x=0} = 6
Derivative 3 at the centre.
f^{(4)}(0) = - \frac{24}{\left(x - 1\right)^{5}}\big|_{x=0} = 24
Derivative 4 at the centre.
f^{(5)}(0) = \frac{120}{\left(x - 1\right)^{6}}\big|_{x=0} = 120
Derivative 5 at the centre.
x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1
Assemble the terms up to degree 5.

Առաջարկել պատասխանը

x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 + O((x-0)^{6})

Now you Ընտրեք խնդիր, կամ տեքստ գրեք կամ նկարեք ձեր սեփականը։ Յուրաքանչյուր քայլ, նկար, պատասխանը թաքնված է մինչև դուք հարցնեք։

Ձեր սեփական աշխատանքը շարունակեք

Ազատ հաշիվը յուրաքանչյուր դասավանդման համար գրառումներ է ավելացնում, Ձեր ավարտելիք դասերի և լուծված խնդիրների ցուցակ է պահում մեկ տեղում, և ուսուցիչ, ում կարող եք հարցնել այս էջի մասին։ Մաթեմատիկան բաց է բոլորի համար, անկախ նրանից մուտքագրվել եք արդյոք կամ ոչ։

Գրանցվել Գրանցում

Օգտագործված սիմվոլներ

Տեղադրեք ցանկացած նշան՝ ամբողջական սահմանման, նկարի և դրա մեջ ամեն մի տառի իմաստը տեսնելու համար։

Ինչպես: Power series and analytic continuation

Taylor series about x = 0: f(x) = Σ fᵏ(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ.
Derivative 0 at the centre.
Derivative 1 at the centre.
Derivative 2 at the centre.
Derivative 3 at the centre.
Derivative 4 at the centre.
Derivative 5 at the centre.
Assemble the terms up to degree 5.

Հարցեր, որոնք մարդիկ տալիս են :

Why is complex differentiability so much stronger than real?

The limit must be the same from every direction in the plane, not just two. That forces the Cauchy-Riemann equations, which in turn force infinitely many derivatives and a convergent Taylor series.

What is a residue?

The coefficient of 1/(z − a) in the Laurent series at a singularity a. The residue theorem says a contour integral equals 2πi times the sum of the residues inside, which evaluates many real integrals in one line.

Ցուցադրել Complex Analysis

The complex plane and Euler's formula Holomorphic functions and the Cauchy-Riemann equations Contour integrals and the residue theorem