The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Agora tu Nenhuma calculadora resolve esta, mas as peças dela são computáveis. Tente um abaixo, ou digite seu próprio.

⌨ Digitar ✎ Desenha-o

O seu problema de matemática

π Resolva

Prática (1)

Experimente cada um no papel primeiro. Revele a resposta para conferir; os verificados podem ser abertos no resolvedor com todos os passos.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Resolva passo a passo Sugestão

Guarde o seu próprio trabalho

Uma conta gratuita adiciona notas sobre cada lição, um registro do que você terminou, seus problemas resolvidos em um lugar, e um tutor que você pode perguntar sobre esta página. A própria matemática está aberta a todos, assinada ou não.

Inscrever-se Login

Símbolos usados aqui

Toque em qualquer símbolo para a definição completa, uma imagem e o que cada letra nela significa.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Perguntas que as pessoas fazem

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Partes desta página são adaptadas a partir de Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Condensado e reexplicado aqui; erros são nossos.

Mais em Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs