The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

ਹੁਣ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਇਸ ਨੂੰ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦਾ, ਪਰ ਇਸ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਗਣਨਾਯੋਗ ਹਨ । ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ਜਾਂ ਆਪਣਾ ਲਿਖੋ ।

⌨ ਟਾਈਪ ✎ ਖਿੱਚੋ

ਤੁਹਾਡਾ ਗਣਿਤ ਸਮੱਸਿਆ

π ਹੱਲ਼

ਅਭਿਆਸ (1)

ਪਹਿਲਾਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਕਾਗਜ਼ ਉੱਤੇ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ । ਚੈੱਕ ਕਰਨ ਲਈ ਜਵਾਬ ਦਿਓ; ਜਾਂਚ ਕੀਤੇ ਜਵਾਬ ਹਰੇਕ ਸਟੈਪ ਲਈ ਹੱਲ਼ਕਾਰ ਵਿੱਚ ਖੋਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ।

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   ਇਸ ਰਾਹੀਂ ਕੰਮ ਕਰੋ ਇਸ਼ਾਰਾ

ਆਪਣੇ ਆਪ ਕੰਮ ਕਰੋ

ਮੁਫਤ ਅਕਾਊਂਟ ਹਰੇਕ ਲੈਕਚਰ ਉੱਤੇ ਨੋਟਿਸ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਪੂਰਾ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਸ ਦਾ ਰਿਕਾਰਡ, ਤੁਹਾਡੇ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਇੱਕ ਥਾਂ ਤੇ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਟੂਟੋਰਿਅਲ, ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਫ਼ੇ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ । ਗਣਿਤ ਆਪ ਹੀ ਹਰੇਕ ਲਈ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਹੈ, ਲਾਗਇਨ ਕੀਤਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਨਾ ਹੋਵੇ ।

ਸਾਈਨ ਅੱਪ ਲਾਗਇਨ

ਇੱਥੇ ਵਰਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨ

ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਸ਼ਾਨ ਨੂੰ ਦਬਾਉ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਅਤੇ ਹਰ ਅੱਖਰ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ।

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

ਲੋਕ ਪੁੱਛਦੇ ਹਨ

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ਇਸ ਸਫ਼ੇ ਦੇ ਕੁਝ ਹਿੱਸੇ ਇਸ ਤੋਂ ਅਨੁਕੂਲਿਤ ਹਨ Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). ਇੱਥੇ ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਸਪਸ਼ਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ; ਗਲਤੀਆਂ ਸਾਡੀਆਂ ਹਨ।

ਹੋਰ ਵਿੱਚ Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs