The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Now you კალკულატორი არ ითვალისწინებს ამ რიცხვს, მაგრამ მისი ნაწილები გამოთვლილია. სცადეთ ერთი ქვემოთ ან შეიყვანეთ საკუთარი.

⌨ ტიპები ✎ Draw it

Your maths problem

π გადაჭრა

ოპაგთლნთკ (1)

ყველა პასუხი პირველად ქაღალდის ფურცელზე სცადეთ. პასუხის გამოვლენა, რომ შეამოწმოთ; დადასტურებული პასუხები შეიძლება გახსნილი იყოს გადამწყვეტში ყველა ნაბიჯისთვის.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Work through it რჩევა

Keep your own working

უფასო ანგარიშის გამოყენებისას, ყველა გაკვეთილზე დამატებით ჩანაწერებს ნახავთ, დასრულებული და გადაწყვეტილი ამოცანების ჩანაწერებს ერთ ადგილას და მასწავლებელს, რომელსაც ამ გვერდის შესახებ შეკითხვა შეგიძლიათ გაუწიოთ. მათემატიკა ყველასთვის ხელმისაწვდომია, ანგარიშის შექმნის შემდეგაც კი.

რეგისტრაცია შესვლა

აქ გამოყენებული სიმბოლოები

Tap any symbol for the full definition, a picture, and what every letter in it means.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Questions people ask

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ეს გვერდი ადაპტირებულია Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Condensed and re-explained here; errors are ours.

მეტი Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs