maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Binomial coefficients and Pascal's triangle

Binomial coefficients and Pascal's triangle

Identities, the binomial theorem, and combinatorial proofs.

C(n, k) counts k-subsets, is the coefficient in (a + b)ⁿ, and satisfies Pascal's rule C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Picture it: Pascal's triangle, each entry the sum of the two above. Think it: a combinatorial proof shows two formulas count the same set, no algebra needed.

ნამდვილი ასლი · expand (a + b)^6

Algebra · Expanding

Expand (a + b)^6

\left(a + b\right)^{6}

Step by step

  1. \left(a + b\right)^{6}

    Start from the expression.

  2. a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

    Distribute (multiply out) the products.

Reveal the answer
a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

Now you Pick a problem, or type or draw your own. Every step, a picture, the answer hidden until you ask.

Keep your own working

უფასო ანგარიშის გამოყენებისას, ყველა გაკვეთილზე დამატებით ჩანაწერებს ნახავთ, დასრულებული და გადაწყვეტილი ამოცანების ჩანაწერებს ერთ ადგილას და მასწავლებელს, რომელსაც ამ გვერდის შესახებ შეკითხვა შეგიძლიათ გაუწიოთ. მათემატიკა ყველასთვის ხელმისაწვდომია, ანგარიშის შექმნის შემდეგაც კი.

რეგისტრაცია შესვლა

აქ გამოყენებული სიმბოლოები

Tap any symbol for the full definition, a picture, and what every letter in it means.

როგორ: Binomial coefficients and Pascal's triangle

  1. Start from the expression.
  2. Distribute (multiply out) the products.

Questions people ask

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

მეტი Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs