The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

今度はあなたの番 計算機では解けませんが、計算可能です。下の一つを試してみましょう。もしくは自分で入力してください。

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数学の問題

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練習 (1)

まず紙で解いてみてください。答えを表示して確認できます。検証済みの問題は、ソルバーで全ステップを開けます。

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   ステップごとに解く ヒント

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ここで使用された記号

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\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

よくある質問

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Parts of this page are adapted from Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). ここでは要約して説明し直しています。誤りは私たちの責任です。

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