The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Ora tu Nessuna calcolatrice risolve questa domanda, ma le sue parti sono calcolabili. Provane una qui sotto, o digita la tua.

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Il tuo problema di matematica

π Risolvi

Pratica (1)

Provare ciascuno su carta prima. Rivelare la risposta per controllare; quelli verificati possono essere aperti nel risolutore per ogni passo.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

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\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Domande che la gente chiede

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Parti di questa pagina sono adattate da Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Condensato e ri-spiegato qui; gli errori sono nostri.

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