The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

حالا تو هیچ ماشین حسابی این را حل نمی‌کند ، اما تکه‌های آن قابل محاسبه هستند. یکی از زیر را امتحان کنید ، یا خودتان را تایپ کنید.

⌨ نوع ✎ بکشش

مشکل ریاضی تو

π حل

تمرین (1)

ابتدا هر کدام را روی کاغذ امتحان کنید. پاسخ را برای بررسی آشکار کنید. پاسخهای تأیید شده را می‌توان در حل‌کننده برای هر گام باز کرد.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   . بهش فکر کن راهنمایی

خودت رو به کار بسپار

یک حساب رایگان یادداشت‌هایی را در هر درس اضافه می‌کند، یک ثبت از آنچه که تمام کرده‌اید، مسائل حل شده شما در یک مکان، و یک معلم که می‌توانید در مورد این صفحه از او بپرسید. خود ریاضیات برای همه باز است، چه وارد شده باشید و چه نباشید.

ثبت نام ورود

نمادهای استفاده‌شده در اینجا

هر نماد را برای تعریف کامل، تصویر و معنی هر حرف در آن بزنید.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

سوالاتي که مردم ميپرسن

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

این صفحه از این مقاله اقتباس شده‌است. Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). این گزاره را می‌توان به صورت زیر بیان کرد: اشتباهات ما، اشتباهات ما هستند.

بیشتر در Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs