The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Сега ти. Никой калкулатор не се урежда този, но парчетата от него са комунтирани. Опитайте един по-долу, или напишете своя собствен.

⌨ Тип ✎ Нарисувай го.

Твоят проблем с математиката

π Разрешете

Практика (1)

Опитайте всеки на хартия първо. Открийте отговора за проверка; потвърдени могат да бъдат отворени в решавача за всяка стъпка.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Процедете го. Подсказка

Запази си работата.

Безплатна сметка добавя бележки за всеки урок, запис на това, което сте завършили, решавате проблеми на едно място, и учител, който можете да попитате за тази страница. Самата математика е отворена за всеки, подписан или не.

Записване Вход

Символи, използвани тук

Докоснете всеки символ за пълното определение, снимка и какво означава всяка буква в него.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Въпроси, които хората задават

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Части на тази страница са адаптирани от Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Тук е обяснено и обяснява, грешките са наши.

Още в Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs