The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

الآن أنت لا توجد آلة حسابية تقوم بتسوية هذا الحساب، ولكن أجزاءه قابلة للحساب. جرب أحد الحلول أدناه، أو أكتب حلك الخاص.

⌨ النوع ✎ رسمه

مشكلتك الرياضية

π حل

الممارسة (1)

حاول كل واحد على الورق أولاً. كشفت الإجابة للتحقق؛ يمكن فتح الإجابات المثبتة في الحل لكل خطوة.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   إعملي على ذلك إشارة

إبقي عملك الخاص

إن الحساب المجاني يضيفه ملاحظات على كل درس، وسجل لما أنجزته، ومشاكلك التي حلتها في مكان واحد، ومعلم يمكنك أن تسأله عن هذه الصفحة. والرياضيات نفسها مفتوحة أمام الجميع، سواء كانوا مستخدمين أو غير مستخدمين.

التسجيل الدخول

الرموز المستخدمة هنا

لمس أي رمز للحصول على التعريف الكامل، والصورة، وما يعنيه كل حرف في ذلك.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

أسئلة يطرحها الناس

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

أجزاء من هذه الصفحة مستمدة من Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). لقد تم تلخيصها وإعادة شرحها هنا؛ والأخطاء هي أخطائنا.

أكثر في Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs