maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Partially Ordered Sets › Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Let \PXP be a partially ordered set. A linear order L on X is called a linear extension (also, a topological sort) of P, if x\lt y in L whenever x\lt y in P.

Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Let \(\PXP\) be a partially ordered set. A linear order \(L\) on \(X\) is called a linear extension (also, a topological sort) of \(P\), if \(x\lt y\) in \(L\) whenever \(x\lt y\) in \(P\). For example, the table displayed in shows that our familiar example \(\bfP_3\) has11 linear extensions.

The classical sorting problem studied in all elementary computer science courses is to determine an unknown linear order \(L\) of a set \(X\) by asking a series of questions of the form: Is \(x\lt y\) in \(L\)? All the well known sorting algorithms (bubble sort, merge sort, quick sort, ) proceed in this manner.

Here is an important special case: determine an unknown linear extension \(L\) of a poset \(\bfP\) by asking a series of questions of the form: Is \(x \lt y\) in \(L\)?

الآن أنت لا توجد آلة حسابية تقوم بتسوية هذا الحساب، ولكن أجزاءه قابلة للحساب. جرب أحد الحلول أدناه، أو أكتب حلك الخاص.

إبقي عملك الخاص

إن الحساب المجاني يضيفه ملاحظات على كل درس، وسجل لما أنجزته، ومشاكلك التي حلتها في مكان واحد، ومعلم يمكنك أن تسأله عن هذه الصفحة. والرياضيات نفسها مفتوحة أمام الجميع، سواء كانوا مستخدمين أو غير مستخدمين.

التسجيل الدخول

الرموز المستخدمة هنا

لمس أي رمز للحصول على التعريف الكامل، والصورة، وما يعنيه كل حرف في ذلك.

أسئلة يطرحها الناس

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

أجزاء من هذه الصفحة مستمدة من Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). لقد تم تلخيصها وإعادة شرحها هنا؛ والأخطاء هي أخطائنا.

أكثر في Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs