maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Binomial coefficients and Pascal's triangle

Binomial coefficients and Pascal's triangle

Identities, the binomial theorem, and combinatorial proofs.

C(n, k) counts k-subsets, is the coefficient in (a + b)ⁿ, and satisfies Pascal's rule C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Picture it: Pascal's triangle, each entry the sum of the two above. Think it: a combinatorial proof shows two formulas count the same set, no algebra needed.

Apstrādāts piemērs · expand (a + b)^6

Algebra · Expanding

Expand (a + b)^6

\left(a + b\right)^{6}

Solis pēc kārtas

  1. \left(a + b\right)^{6}

    Start from the expression.

  2. a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

    Distribute (multiply out) the products.

Atbildēt uz šo jautājumu
a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

Tagad tu Izvēlieties problēmu, vai ierakstiet vai zīmējiet savu. Katrs solis, attēls, atbilde slēpta, līdz jūs lūgt.

Saglabāt savu darbu

Bezmaksas konts pievieno piezīmes par katru nodarbību, ierakstu par to, ko esat pabeidzis, jūsu atrisinātās problēmas vienā vietā, un pasniedzēju, kuru varat jautāt par šo lapu. Pati matemātika ir pieejama ikvienam, kas ir vai nav parakstījies.

Pierakstīties Pieteikšanās

Šeit izmantotie simboli

Piesitiet visiem simboliem, kas apzīmē pilnu definīciju, attēlu un ko katrs burts tajā nozīmē.

Kā lietot: Binomial coefficients and Pascal's triangle

  1. Start from the expression.
  2. Distribute (multiply out) the products.

Jautājumi, ko cilvēki vaicā

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Vairāk Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs