maths.free › Category Theory › Categories, functors and natural transformations
Categories, functors and natural transformations
Objects and arrows, composition, and maps between categories.
A category is objects plus arrows that compose associatively with identities: sets and functions, groups and homomorphisms, spaces and continuous maps. A functor maps one category to another preserving composition. Picture it: a commutative diagram, a square of arrows where both routes agree. Think it: "naturality" makes precise what it means for a construction to involve no arbitrary choices.
କାର୍ଯ୍ୟକାରୀ ଉଦାହରଣ · {1,2} union {3}
{1,2} union {3}
ପଦକ୍ଷେପ କ୍ରମେ
- A = \left\{1, 2\right\},\quad B = \left\{3\right\}
The two sets.
- A \cup B = \left\{1, 2, 3\right\}
Keep everything in either set.
- |A| = 2,\ |B| = 1,\ |A \cup B| = 3
Cardinalities. Note |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
ଉତ୍ତରକୁ ଖୋଲନ୍ତୁ
ଏବେ ଆପଣ ଗୋଟିଏ ସମସ୍ୟା ବାଛନ୍ତୁ, କିମ୍ବା ଆପଣଙ୍କର ନିଜ ସମସ୍ୟାକୁ ଟାଇପ କରନ୍ତୁ କିମ୍ବା ଆଙ୍କନ୍ତୁ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପର୍ଯ୍ୟାୟରେ, ଗୋଟିଏ ଚିତ୍ର, ଉତ୍ତର ଲୁକ୍କାୟିତ ହୋଇଥାଏ ଯେ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଆପଣ ପଚାରନ୍ତି ନାହିଁ।
ଗୋଟିଏ ମୁକ୍ତ ଖାତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଠରେ ଟିପ୍ପଣୀ ଯୋଗ କରିଥାଏ, ଆପଣ ଯାହା ସମାପ୍ତ କରିଛନ୍ତି ତାହାର ଗୋଟିଏ ରେକର୍ଡ, ଆପଣଙ୍କର ସମାଧାନ ହୋଇଥିବା ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନରେ, ଏବଂ ଜଣେ ଶିକ୍ଷକ ଆପଣ ଏହି ପୃଷ୍ଠା ବିଷୟରେ ପଚାରିପାରିବେ। ଗଣିତ ନିଜେ ସମସ୍ତଙ୍କୁ ଖୋଲା ଅଛି, ଲଗଇନ ହୋଇଥିବା କିମ୍ବା ନଥିବା।
ସଦସ୍ୟତା ନିଅନ୍ତୁ ଲଗଇନଏଠାରେ ବ୍ୟବହୃତ ପ୍ରତୀକଗୁଡିକ
ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଣ୍ଣନା ପାଇଁ ଯେକୌଣସି ପ୍ରତୀକକୁ ଟ୍ୟାପ କରନ୍ତୁ, ଗୋଟିଏ ଚିତ୍ର, ଏବଂ ଏଥିରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅକ୍ଷରର ଅର୍ଥ କଣ।
କିପରି: Categories, functors and natural transformations
- The two sets.
- Keep everything in either set.
- Cardinalities. Note |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
ଲୋକମାନେ ପଚାରୁଥିବା ପ୍ରଶ୍ନ
What is a functor?
A map between categories that sends objects to objects and arrows to arrows while respecting composition. Taking the fundamental group of a space is a functor from spaces to groups.