maths.free › Category Theory › Categories, functors and natural transformations
Categories, functors and natural transformations
Objects and arrows, composition, and maps between categories.
A category is objects plus arrows that compose associatively with identities: sets and functions, groups and homomorphisms, spaces and continuous maps. A functor maps one category to another preserving composition. Picture it: a commutative diagram, a square of arrows where both routes agree. Think it: "naturality" makes precise what it means for a construction to involve no arbitrary choices.
Вработен пример · {1,2} union {3}
{1,2} union {3}
Чекор по чекор
- A = \left\{1, 2\right\},\quad B = \left\{3\right\}
The two sets.
- A \cup B = \left\{1, 2, 3\right\}
Keep everything in either set.
- |A| = 2,\ |B| = 1,\ |A \cup B| = 3
Cardinalities. Note |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Одкриј го одговорот
Сега ти. Секој чекор, слика, одговорот е скриен додека не прашаш.
Бесплатна сметка додава белешки за секоја лекција, запис за она што сте го завршиле, вашите решени проблеми на едно место, и тутор кој може да го прашате за оваа страница. Самата математика е отворена за сите, потпишана или не.
Потпиши се НајаваСимболи кои се користат тука
Допрете било кој симбол за целосната дефиниција, слика, и што значи секоја буква во неа.
Како да го направиш тоа?: Categories, functors and natural transformations
- The two sets.
- Keep everything in either set.
- Cardinalities. Note |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Прашања што луѓето ги поставуваат
What is a functor?
A map between categories that sends objects to objects and arrows to arrows while respecting composition. Taking the fundamental group of a space is a functor from spaces to groups.