maths.free › Category Theory › Categories, functors and natural transformations
Categories, functors and natural transformations
Objects and arrows, composition, and maps between categories.
A category is objects plus arrows that compose associatively with identities: sets and functions, groups and homomorphisms, spaces and continuous maps. A functor maps one category to another preserving composition. Picture it: a commutative diagram, a square of arrows where both routes agree. Think it: "naturality" makes precise what it means for a construction to involve no arbitrary choices.
Toimiva esimerkki · {1,2} union {3}
{1,2} union {3}
Askel kerrallaan
- A = \left\{1, 2\right\},\quad B = \left\{3\right\}
The two sets.
- A \cup B = \left\{1, 2, 3\right\}
Keep everything in either set.
- |A| = 2,\ |B| = 1,\ |A \cup B| = 3
Cardinalities. Note |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Paljasta vastaus
Nyt sinä Valitse ongelma tai kirjoita tai piirrä omasi. Jokainen vaihe, kuva ja vastaus piilotettuna, kunnes kysyt.
Vapaa tili lisää muistiinpanoja jokaiseen oppituntiin, muistiinpanoja siitä, mitä olet saanut päätökseen, ratkaistuja ongelmiasi yhdessä paikassa ja ohjaajaa, jolta voit kysyä tästä sivusta. Matematiikka on kaikille avoin, kirjautunut tai ei.
Rekisteröidy KirjautuminenSymbolit, joita käytetään täällä
Napauta symbolia koko määrittelyn, kuvan ja sen jokaisen kirjaimen osalta.
Miten: Categories, functors and natural transformations
- The two sets.
- Keep everything in either set.
- Cardinalities. Note |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Kysymyksiä
What is a functor?
A map between categories that sends objects to objects and arrows to arrows while respecting composition. Taking the fundamental group of a space is a functor from spaces to groups.