maths.free › Real Analysis › Continuity and differentiability, rigorously

Continuity and differentiability, rigorously

ε, δ continuity, the intermediate and extreme value theorems, the mean value theorem.

f is continuous at a when the limit equals the value; on a closed interval that buys the intermediate value theorem and a maximum. The mean value theorem says some tangent is parallel to the chord, the fact behind every "if f′ > 0 then f increases". Picture it: the chord and the parallel tangent. Think it: these theorems are where compactness and connectedness of [a, b] do their work.

Megdolgozott példa · limit of sin(x)/x as x -> 0

Calculus · Limits

Limit of sin(x)/x as x → 0

\lim_{x \to 0} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}

Lépésről lépésre

  1. \lim_{x \to 0^+-} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}

    Try direct substitution first.

  2. \frac{0}{0}

    Substitution gives 0/0: an indeterminate form.

  3. \lim \frac{\cos{\left(x \right)}}{1}

    L'Hôpital's rule: differentiate numerator and denominator separately.

  4. = 1

    Substitute.

Mutasd meg a választ!
1

Most te. Válasszon egy problémát, vagy gépelje vagy rajzolja le a saját. Minden lépés, a kép, a válasz elrejtve, amíg nem kérdezi.

Dolgozz tovább!

Egy ingyenes fiók jegyzeteket ad minden leckéről, egy feljegyzést arról, hogy mit végeztél el, a megoldott problémáidról egy helyen, és egy oktatót, akit megkérdezhetsz erről az oldalról. A matematika maga mindenki számára nyitva áll, bejelentkezve vagy sem.

Regisztrálj! Bejelentkezés

Itt használt szimbólumok

Koppintson a teljes definícióra, a képre és arra, hogy mit jelent minden betű.

Hogyan kell: Continuity and differentiability, rigorously

  1. Try direct substitution first.
  2. Substitution gives 0/0: an indeterminate form.
  3. L'Hôpital's rule: differentiate numerator and denominator separately.
  4. Substitute.

Kérdések, amiket az emberek feltesznek

What is the ε, δ definition actually saying?

That you can make the output as close to the limit as anyone demands (within ε) by keeping the input close enough (within δ). It replaces "approaches" with a challenge-and-response that can be checked.

Why does the harmonic series diverge when its terms go to zero?

Because the terms shrink too slowly: group them as 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + … + 1/8 > 1/2, and so on: infinitely many halves.

Még több Real Analysis

Sequences and their limitsConvergence of seriesImproper integralsTaylor approximation and errorFunctions of a complex variableSequences of functions and uniform convergence