maths.free › Algebraic Topology

Algebraic Topology

Fundamental groups, homology: counting holes with algebra.

Bài học

Advanced The fundamental group Loops up to deformation; the circle's winding number; van Kampen. polar form of -1 Advanced Homology and the Euler characteristic Counting holes in every dimension with chain complexes. 6 - 12 + 8

Attach a group to a space so that continuous maps become homomorphisms. Then the question "are these two spaces the same shape?" becomes an algebra computation, which is how we know a doughnut is not a sphere.

Học thêm bài

Homotopy

Algebraic topology Homotopy Covering space Seifert–Van Kampen theorem Homotopy group Simply connected space Deformation retract

Homology

Homology (mathematics)Simplicial complex Singular homology Chain complex Exact sequence Betti number Euler characteristic CW complex Mayer–Vietoris sequence Cohomology Poincaré duality

Consequences

Brouwer fixed-point theorem Borsuk–Ulam theorem Hairy ball theorem Jordan curve theorem Poincaré conjecture Classification of manifolds

Một số bài học này được chuyển thể từ các văn bản mở: Wikipedia. Mỗi trang bài học có tên nguồn và giấy phép.

Ký hiệu được dùng ở đây

Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.

Câu hỏi người ta hỏi

What does the fundamental group measure?

Loops in a space up to deformation. In a plane every loop shrinks to a point (trivial group); around a hole a loop can wind n times (the integers).

Có vấn đề riêng của anh không?
Nhập hoặc vẽ nó trên trang giải: mỗi bước, một bức ảnh, câu trả lời ẩn cho đến khi bạn hỏi. Giải quyết →

Các nhánh khác

＋ Arithmetic 𝑥 Algebra △ Geometry ∿ Trigonometry ƒ Precalculus σ Statistics & Probability ⊢ Discrete Math & Logic ∫ Calculus ⊞ Linear Algebra ℕ Number Theory ẏ Differential Equations ∇ Multivariable Calculus ε Real Analysis ⋔ Combinatorics & Graph Theory ∈ Set Theory & Logic 𝔾 Abstract Algebra 𝑃 Probability Theory ≈ Numerical Methods ℂ Complex Analysis ◎ Topology μ Measure Theory ‖·‖ Functional Analysis κ Differential Geometry → Category Theory ∂ Partial Differential Equations ≋ Fluid Dynamics ∞ Frontiers