maths.free › Abstract Algebra › Rings and fields

Rings and fields

Two operations: integers, polynomials, ℤ/n, and when division is possible.

A ring has addition and multiplication like the integers; a field additionally lets you divide by anything non-zero. ℤ/p is a field exactly when p is prime. Every non-zero element has an inverse. Picture it: the multiplication table of ℤ/7: every row is a permutation. Think it: polynomials over a field behave like integers (unique factorisation, Euclid's algorithm), which is why algebra and number theory rhyme.

Voorbeeld van werk · inverse of 7 mod 11

Number-Theory · Modular-Arithmetic

Inverse of 7 mod 11

7,\ 11

Stap voor stap

  1. 7x \equiv 1 \pmod{11}

    We want x with a·x ≡ 1 (mod m). It exists only when gcd(a, m) = 1.

  2. 11 = 1 \times 7 + 4

    Euclid step.

  3. 7 = 1 \times 4 + 3

    Euclid step.

  4. 4 = 1 \times 3 + 1

    Euclid step.

  5. 3 = 3 \times 1 + 0

    Euclid step.

  6. 7 \times 8 = 56 \equiv 1 \pmod{11}

    Back-substitute (extended Euclid) to express 1 as a combination of a and m; the coefficient of a is the inverse.

Onthul het antwoord
7^{-1} \equiv 8 \pmod{11}

Nu jij. Kies een probleem, type of teken je eigen. Elke stap, een foto, het antwoord verborgen totdat je het vraagt.

Blijf jezelf aan het werk

Een gratis account voegt notities toe bij elke les, een record van wat je klaar bent, je problemen opgelost op één plaats, en een leraar die je kunt vragen over deze pagina. De wiskunde zelf is open voor iedereen, ingelogd of niet.

Aanmelden Aanmelden

Hier gebruikte symbolen

Tik op elk symbool voor de volledige definitie, een afbeelding en wat elke letter erin betekent.

Hoe: Rings and fields

  1. We want x with a·x ≡ 1 (mod m). It exists only when gcd(a, m) = 1.
  2. Euclid step.
  3. Euclid step.
  4. Euclid step.
  5. Euclid step.
  6. Back-substitute (extended Euclid) to express 1 as a combination of a and m; the coefficient of a is the inverse.

Vragen die mensen stellen

What is a group, in plain words?

A set with one operation that is associative, has an identity, and lets every element be undone. Symmetries of any object form a group. That is where the idea came from.

What is the difference between a ring and a field?

A ring has addition and multiplication that behave like the integers (you cannot always divide); a field is a ring where every non-zero element has a reciprocal, like the rationals or the reals.

Meer in Abstract Algebra

GroupsSubgroups, cosets and Lagrange's theoremCyclic groups and permutation groupsHomomorphisms, normal subgroups and quotient groupsGalois theory: why the quintic has no formula