maths.free › Topology › Compactness and connectedness

Compactness and connectedness

The two properties that make theorems work: extreme values and intermediate values.

Compact (on the line: closed and bounded) guarantees a maximum is attained; connected guarantees the intermediate value theorem. Picture it: a closed interval versus an open one. The function 1/x has no maximum on (0, 1]. Think it: both are defined by open covers and separations, so they transfer to any space.

Shembulli i punuar · critical points of x^3 - 3x

Calculus · Extrema

Critical points of x^3 - 3x

x^{3} - 3 x

Hap pas hapi

  1. f(x) = x^{3} - 3 x

    Critical points are where f′(x) = 0 or is undefined.

  2. f'(x) = 3 x^{2} - 3

    Differentiate.

  3. x = -1, x = 1

    Solve f′(x) = 0.

  4. f''(x) = 6 x

    Second-derivative test: f″ < 0 → maximum, f″ > 0 → minimum.

  5. f''(-1) = -6 \Rightarrow (-1, 2) \text{ is a local maximum}

  6. f''(1) = 6 \Rightarrow (1, -2) \text{ is a local minimum}

Zbulo përgjigjen
(-1, 2)\ \text{local maximum},\; (1, -2)\ \text{local minimum}

Tani ti. Zgjidh një problem, shkruaj apo vizato tënd. Çdo hap, një imazh, përgjigja e fshehur deri sa të pyesësh.

Mbaje punën tënde

Një llogari e lirë shtohet shënime në çdo mësim, një regjistrim të asaj që ju keni përfunduar, problemet tuaja të zgjidhura në një vend, dhe një mësues që ju mund të pyesni rreth kësaj faqeje. Matematika vetë është e hapur për të gjithë, të regjistruar apo jo.

Regjistrohu Hyr

Simbolet e përdorura këtu

Prek çdo simbol për përkufizimin e plotë, një fotografi dhe se çfarë do të thotë çdo shkronjë në të.

Si: Compactness and connectedness

  1. Critical points are where f′(x) = 0 or is undefined.
  2. Differentiate.
  3. Solve f′(x) = 0.
  4. Second-derivative test: f″ < 0 → maximum, f″ > 0 → minimum.

Pyetja që bëjnë njerëzit

Why "a doughnut is a coffee cup"?

Each can be deformed into the other without cutting or gluing: one hole each. Topology studies exactly the properties such deformations preserve.

What is compactness for?

It is the property that makes "every sequence has a convergent subsequence" and "continuous functions attain their maximum" true. On the real line it means closed and bounded.

Më shumë në Topology

Metric spaces and open setsHomeomorphism and topological invariants