maths.free › Number Theory › RSA: cryptography from number theory

RSA: cryptography from number theory

Public keys from two primes, and why factoring is the lock.

Choose primes p, q; n = pq; pick e coprime to φ(n) = (p − 1)(q − 1); the private key d is e⁻¹ mod φ(n). Encrypt mᵉ mod n, decrypt with d. The security is the difficulty of factoring n. Picture it: a padlock anyone can snap shut (e) that only the key (d) opens. Think it: correctness is Euler's theorem; the whole scheme is one modular inverse.

Օրինակ · inverse of 17 mod 3120

Number-Theory · Modular-Arithmetic

Inverse of 17 mod 3120

17,\ 3120

Քայլ առ քայլ

  1. 17x \equiv 1 \pmod{3120}

    We want x with a·x ≡ 1 (mod m). It exists only when gcd(a, m) = 1.

  2. 3120 = 183 \times 17 + 9

    Euclid step.

  3. 17 = 1 \times 9 + 8

    Euclid step.

  4. 9 = 1 \times 8 + 1

    Euclid step.

  5. 8 = 8 \times 1 + 0

    Euclid step.

  6. 17 \times 2753 = 46801 \equiv 1 \pmod{3120}

    Back-substitute (extended Euclid) to express 1 as a combination of a and m; the coefficient of a is the inverse.

Առաջարկել պատասխանը
17^{-1} \equiv 2753 \pmod{3120}

Now you Ընտրեք խնդիր, կամ տեքստ գրեք կամ նկարեք ձեր սեփականը։ Յուրաքանչյուր քայլ, նկար, պատասխանը թաքնված է մինչև դուք հարցնեք։

Ձեր սեփական աշխատանքը շարունակեք

Ազատ հաշիվը յուրաքանչյուր դասավանդման համար գրառումներ է ավելացնում, Ձեր ավարտելիք դասերի և լուծված խնդիրների ցուցակ է պահում մեկ տեղում, և ուսուցիչ, ում կարող եք հարցնել այս էջի մասին։ Մաթեմատիկան բաց է բոլորի համար, անկախ նրանից մուտքագրվել եք արդյոք կամ ոչ։

Գրանցվել Գրանցում

Օգտագործված սիմվոլներ

Տեղադրեք ցանկացած նշան՝ ամբողջական սահմանման, նկարի և դրա մեջ ամեն մի տառի իմաստը տեսնելու համար։

Ինչպես: RSA: cryptography from number theory

  1. We want x with a·x ≡ 1 (mod m). It exists only when gcd(a, m) = 1.
  2. Euclid step.
  3. Euclid step.
  4. Euclid step.
  5. Euclid step.
  6. Back-substitute (extended Euclid) to express 1 as a combination of a and m; the coefficient of a is the inverse.

Հարցեր, որոնք մարդիկ տալիս են :

Why are primes so important?

Every integer factors into primes in exactly one way, so primes are the atoms of multiplication. Cryptography relies on that factoring being easy to state and hard to do.

How do I tell whether a big number is prime?

Trial division up to the square root works for small numbers. For large ones, probabilistic tests (Miller-Rabin) give an answer that is wrong with negligible probability, and deterministic tests (AKS) exist but are slower.

Ցուցադրել Number Theory

Prime factorisationPrime numbersGCD and LCMModular arithmeticDivisorsSequencesNumber basesDiophantine equationsFermat's little theorem and Euler's theorem