maths.free › Measure Theory › σ-algebras and measures
σ-algebras and measures
Which sets can be measured, and the countable additivity that makes limits work.
A σ-algebra is a family of sets closed under complements and countable unions; a measure assigns sizes additively over countable disjoint unions. Lebesgue measure gives intervals their length and extends to far stranger sets. Picture it: covering a set by intervals and taking the cheapest total length. Think it: not every set is measurable (Vitali), which is why the σ-algebra is part of the definition.
Exemplo resolvido · integrate 1/10 dx from 2 to 5
Passo a passo
- \int_{2}^{5} \frac{1}{10}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int \frac{1}{10}\, dx = \frac{x}{10}
The integral of a constant c is c·x.
- F(5) - F(2) = \left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{5}\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{3}{10}
Simplify.
Revelar a resposta
Agora tu Escolha um problema, ou digite ou desenhe o seu próprio. Cada passo, uma imagem, a resposta escondida até que você pergunte.
Uma conta gratuita adiciona notas sobre cada lição, um registro do que você terminou, seus problemas resolvidos em um lugar, e um tutor que você pode perguntar sobre esta página. A própria matemática está aberta a todos, assinada ou não.
Inscrever-se LoginSímbolos usados aqui
Toque em qualquer símbolo para a definição completa, uma imagem e o que cada letra nela significa.
Como: σ-algebras and measures
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- The integral of a constant c is c·x.
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
Perguntas que as pessoas fazem
What is wrong with the Riemann integral?
It fails on functions that oscillate too much, and it does not interact well with limits: the limit of integrable functions need not be integrable. Lebesgue's integral fixes both.