maths.free › Measure Theory › The Lebesgue integral and convergence theorems
The Lebesgue integral and convergence theorems
Integrating by slicing the range instead of the domain; monotone and dominated convergence.
Riemann slices the x-axis; Lebesgue slices the y-axis and asks how much of the domain sits at each height. The payoff is the convergence theorems: under mild conditions, the limit of the integrals is the integral of the limit. Picture it: horizontal strips under the curve instead of vertical ones. Think it: L¹ and L² become complete spaces, the Hilbert spaces of functional analysis.
Жұмыстағы мысал · integrate e^(-x) dx from 0 to oo
Қадам сайын
- \int_{0}^{\infty} e^{- x}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- u = - x,\quad du = -1\, dx
Substitute u = - x.
- \int e^{- x}\, dx = \int - e^{u}\, d_u
Rewrite the integral in terms of u.
- \int - e^{u}\, d_u = -1 \int e^{u}\, d_u
Pull the constant -1 out of the integral.
- \int e^{u}\, d_u = e^{u}
∫ aᵘ du = aᵘ / ln a (for eˣ that is just eˣ).
- = - e^{- x}
Substitute back u = - x.
- F(\infty) - F(0) = \left(0\right) - \left(-1\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = 1
Simplify.
Жауап беріңіз
Енді сен Мәтінді таңдап, жазу немесе өзіңіздің мәтініңізді салу. Әрбір қадамы сурет, сұрағанша жауап жасырылады.
Мұнда қолданылатын символдар
Тұтас анықтамасын, суретін және әрбір әріптің мағынасын көру үшін кез келген символды түртіңіз.
Не істеу керек: The Lebesgue integral and convergence theorems
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- Substitute u = - x.
- Rewrite the integral in terms of u.
- Pull the constant -1 out of the integral.
- ∫ aᵘ du = aᵘ / ln a (for eˣ that is just eˣ).
- Substitute back u = - x.
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
Адамдар қоятын сұрақтар
What is wrong with the Riemann integral?
It fails on functions that oscillate too much, and it does not interact well with limits: the limit of integrable functions need not be integrable. Lebesgue's integral fixes both.