maths.free › Linear Algebra › Vector spaces, span and linear independence

Vector spaces, span and linear independence

The axioms, spanning sets, independence, basis and dimension.

A vector space is a set closed under addition and scaling. Vectors are independent when no combination cancels; a basis is an independent spanning set, and every basis has the same size: the dimension. Picture it: two vectors spanning a plane unless they are parallel, the 3D view of the column vectors. Think it: rank is the dimension of the column space; rank + nullity = number of columns.

Megdolgozott példa · rank of [[1,2],[2,4]]

Linear-Algebra · Rank

Rank of [[1,2],[2,4]]

\left[\begin{matrix}1 & 2\\2 & 4\end{matrix}\right]

Lépésről lépésre

  1. \left[\begin{matrix}1 & 2\\2 & 4\end{matrix}\right]

    Row-reduce; the rank is the number of non-zero rows (pivots).

  2. \left[\begin{matrix}1 & 2\\0 & 0\end{matrix}\right]

    R2 ← R2 − (2)·R1 to clear column 1.

  3. \operatorname{rank} A = 1

Mutasd meg a választ!
\operatorname{rank} A = 1

Most te. Válasszon egy problémát, vagy gépelje vagy rajzolja le a saját. Minden lépés, a kép, a válasz elrejtve, amíg nem kérdezi.

Dolgozz tovább!

Egy ingyenes fiók jegyzeteket ad minden leckéről, egy feljegyzést arról, hogy mit végeztél el, a megoldott problémáidról egy helyen, és egy oktatót, akit megkérdezhetsz erről az oldalról. A matematika maga mindenki számára nyitva áll, bejelentkezve vagy sem.

Regisztrálj! Bejelentkezés

Itt használt szimbólumok

Koppintson a teljes definícióra, a képre és arra, hogy mit jelent minden betű.

Hogyan kell: Vector spaces, span and linear independence

  1. Put the vectors as columns of a matrix and row-reduce.
  2. Pivot columns are a basis of the span; the number of pivots is the rank.
  3. Free columns give the null space: the dependencies among the vectors.

Kérdések, amiket az emberek feltesznek

What does a determinant mean geometrically?

It is the factor by which the matrix scales area (2×2) or volume (3×3), with a negative sign if orientation flips. Zero means the matrix flattens space and cannot be undone.

What is an eigenvector?

A direction the matrix does not turn: it only stretches it by the eigenvalue. Along eigenvectors a complicated matrix acts like multiplication by a number.

Why is matrix multiplication not commutative?

Because a matrix is a transformation and AB means "do B, then A". Rotating then reflecting is not the same as reflecting then rotating.

Még több Linear Algebra

DeterminantsMatrix inverseEigenvalues and eigenvectorsMatrix multiplicationRow reductionOrthogonality, projections and least squaresDiagonalisation and matrix powersLinear transformations and change of basis