maths.free › Differential Equations › Nonhomogeneous equations

Nonhomogeneous equations

Driving forces: homogeneous solution plus a particular solution.

With a forcing term on the right, the general solution is the homogeneous solution plus any one particular solution. Undetermined coefficients guesses the particular solution in the shape of the forcing (exponential, polynomial, sinusoid); variation of parameters handles the rest.

Օրինակ · y'' - 3y' + 2y = e^x

Differential-Equations · Differential-Equations

Y'' - 3y' + 2y = e^x

2 y{\left(x \right)} - 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{x}

Քայլ առ քայլ

  1. 2 y{\left(x \right)} - 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{x}

    The differential equation.

  2. \text{order } 2

    Order 2: the highest derivative present.

  3. \text{Undetermined coefficients}

    Solve the homogeneous part from the characteristic equation, then guess a particular solution shaped like the right-hand side.

  4. r^{2} - 3 r + 2 = 0

    Characteristic equation of the homogeneous part (substitute y = e^{rx}).

  5. r = 2,\ r = 1

    Its roots.

  6. y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} e^{x} - x\right) e^{x}

    General solution (C₁, C₂ … are arbitrary constants).

  7. \checkmark

    Verified: substituting the solution back into the equation gives 0.

Առաջարկել պատասխանը
y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} e^{x} - x\right) e^{x}

Now you Ընտրեք խնդիր, կամ տեքստ գրեք կամ նկարեք ձեր սեփականը։ Յուրաքանչյուր քայլ, նկար, պատասխանը թաքնված է մինչև դուք հարցնեք։

Ձեր սեփական աշխատանքը շարունակեք

Ազատ հաշիվը յուրաքանչյուր դասավանդման համար գրառումներ է ավելացնում, Ձեր ավարտելիք դասերի և լուծված խնդիրների ցուցակ է պահում մեկ տեղում, և ուսուցիչ, ում կարող եք հարցնել այս էջի մասին։ Մաթեմատիկան բաց է բոլորի համար, անկախ նրանից մուտքագրվել եք արդյոք կամ ոչ։

Գրանցվել Գրանցում

Օգտագործված սիմվոլներ

Տեղադրեք ցանկացած նշան՝ ամբողջական սահմանման, նկարի և դրա մեջ ամեն մի տառի իմաստը տեսնելու համար։

Ինչպես: Nonhomogeneous equations

  1. The differential equation.
  2. Order 2: the highest derivative present.
  3. Solve the homogeneous part from the characteristic equation, then guess a particular solution shaped like the right-hand side.
  4. Characteristic equation of the homogeneous part (substitute y = e^{rx}).
  5. Its roots.
  6. General solution (C₁, C₂ … are arbitrary constants).
  7. Verified: substituting the solution back into the equation gives 0.

Հարցեր, որոնք մարդիկ տալիս են :

What is a differential equation?

An equation whose unknown is a function, relating it to its own derivatives. "The rate of growth is proportional to the population" is y′ = ky, and solving it means finding y as a function of time.

Why does the solution have arbitrary constants?

Integrating loses information: many functions share the same derivative. An n-th order equation has n constants, fixed by n initial or boundary conditions.

Ցուցադրել Differential Equations

Separable equationsFirst-order linear equationsSecond-order, constant coefficientsModelling with differential equations