maths.free › Differential Equations › Modelling with differential equations

Modelling with differential equations

Growth, decay, cooling, mixing: writing the equation from the sentence.

Every model starts with a sentence of the form “the rate of change of y is proportional to …”. Growth at 5% a year is y′ = 0.05y; cooling is T′ = −k(T − T_room); a mixing tank balances what flows in against what flows out. Write the sentence as an equation, solve, then fit the constant to a known value.

ตัวอย่างที่ทำงานแล้ว · y' = 0.05*y

Differential-Equations · Differential-Equations

Y' = 0.05*y

\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0.05 y{\left(x \right)}

ก้าวต่อก้าว

  1. \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0.05 y{\left(x \right)}

    The differential equation.

  2. \text{order } 1

    Order 1: the highest derivative present.

  3. \text{Separable}

    Move everything in y to one side with dy and everything in x to the other, then integrate both sides.

  4. 1.0 r - 0.05 = 0

    Characteristic equation of the homogeneous part (substitute y = e^{rx}).

  5. r = 0.05

    Its roots.

  6. y{\left(x \right)} = C_{1} e^{0.05 x}

    General solution (C₁, C₂ … are arbitrary constants).

  7. \checkmark

    Verified: substituting the solution back into the equation gives 0.

เปิดเผยคำตอบ
y{\left(x \right)} = C_{1} e^{0.05 x}

ตอนนี้คุณ เลือกปัญหา หรือพิมพ์หรือวาดเอง ทุกขั้นตอน รูปภาพ คำตอบซ่อนไว้ จนกว่าคุณจะถาม

ทำตัวให้ดีๆ

บัญชีฟรีจะเพิ่มข้อความในทุกบทเรียน ข้อมูลของสิ่งที่คุณทำเสร็จ ปัญหาที่คุณแก้ไขในที่เดียว และอาจารย์ที่คุณสามารถถามเกี่ยวกับหน้านี้ได้ คณิตศาสตร์เองก็เปิดให้ทุกคน เข้าใช้งานหรือไม่

ลงทะเบียน ล็อกอิน

สัญลักษณ์ที่ใช้ที่นี่

คลิกสัญลักษณ์ใดก็ได้ เพื่อดูคำอธิบาย รูปภาพ และความหมายของตัวอักษร

วิธีการ: Modelling with differential equations

  1. The differential equation.
  2. Order 1: the highest derivative present.
  3. Move everything in y to one side with dy and everything in x to the other, then integrate both sides.
  4. Characteristic equation of the homogeneous part (substitute y = e^{rx}).
  5. Its roots.
  6. General solution (C₁, C₂ … are arbitrary constants).
  7. Verified: substituting the solution back into the equation gives 0.

คำถามที่คนถาม

What is a differential equation?

An equation whose unknown is a function, relating it to its own derivatives. "The rate of growth is proportional to the population" is y′ = ky, and solving it means finding y as a function of time.

Why does the solution have arbitrary constants?

Integrating loses information: many functions share the same derivative. An n-th order equation has n constants, fixed by n initial or boundary conditions.

เพิ่มเติมใน Differential Equations

Separable equationsFirst-order linear equationsSecond-order, constant coefficientsNonhomogeneous equations