maths.free › Differential Equations › First-order linear equations

First-order linear equations

y′ + P(x)y = Q(x) and the integrating factor that makes it integrable.

Multiply y′ + P(x)y = Q(x) by μ = e^{∫P dx} and the left side collapses to (μy)′, one integration finishes it. This is the workhorse for mixing tanks, RC circuits and Newton's law of cooling.

Робочий приклад · y' + y = x

Differential-Equations · Differential-Equations

Y' + y = x

y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x

Крок за кроком

  1. y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x

    The differential equation.

  2. \text{order } 1

    Order 1: the highest derivative present.

  3. \text{Exact}

    M dx + N dy = 0 with ∂M/∂y = ∂N/∂x: find the potential F with F_x = M, F_y = N; the solution is F = C.

  4. r + 1 = 0

    Characteristic equation of the homogeneous part (substitute y = e^{rx}).

  5. r = -1

    Its roots.

  6. y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + x - 1

    General solution (C₁, C₂ … are arbitrary constants).

  7. \checkmark

    Verified: substituting the solution back into the equation gives 0.

Показати відповідь
y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + x - 1

Тепер ти Виберіть проблему або наберіть її на зразок. Кожен крок, малюнок, відповідь, сховану до того часу, доки ви не запитаєте.

Нехай ваша робота буде такою ж, як у вас

Вільний рахунок додає нотатки до кожного уроку, запису того, що ви завершили, ваших розв' язаних проблем у одному місці, і репетитора, який ви можете запитати про цю сторінку. Сама математика відкрита для всіх, підписані чи ні.

Підписування Вхід

Символи, що тут використовуються

Взяти будь-який символ до повного визначення, зображення і що означає кожна літера.

Як це зробити?: First-order linear equations

  1. The differential equation.
  2. Order 1: the highest derivative present.
  3. M dx + N dy = 0 with ∂M/∂y = ∂N/∂x: find the potential F with F_x = M, F_y = N; the solution is F = C.
  4. Characteristic equation of the homogeneous part (substitute y = e^{rx}).
  5. Its roots.
  6. General solution (C₁, C₂ … are arbitrary constants).
  7. Verified: substituting the solution back into the equation gives 0.

Запитання людей

What is a differential equation?

An equation whose unknown is a function, relating it to its own derivatives. "The rate of growth is proportional to the population" is y′ = ky, and solving it means finding y as a function of time.

Why does the solution have arbitrary constants?

Integrating loses information: many functions share the same derivative. An n-th order equation has n constants, fixed by n initial or boundary conditions.

Більше в Differential Equations

Separable equationsSecond-order, constant coefficientsNonhomogeneous equationsModelling with differential equations