The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Ngayon ikaw Walang kalkulador settles ito isa, ngunit ang mga piraso ng mga ito ay computable. Subukan ang isa sa ibaba, o type ang iyong sarili.

⌨ Uri ✎ I-draw ito

Ang iyong problema sa matematika

π Lumutas

Pagsasanay (1)

Subukan ang bawat isa sa papel unang. Ipahayag ang sagot upang suriin; na-verify na mga maaaring buksan sa solver para sa bawat hakbang.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Magtrabaho sa pamamagitan ng ito Pang-ugnay

Panatilihin ang iyong sariling nagtatrabaho

Ang isang libreng account ay nagdaragdag ng mga tala sa bawat aralin, isang tala ng kung ano ang iyong natapos, ang iyong mga nalulutas na problema sa isang lugar, at isang guro na maaari mong tanungin tungkol sa pahinang ito. Ang matematika mismo ay bukas sa lahat, naka-sign in o hindi.

Mag-sign Up Mag-login

Mga simbolong ginagamit dito

I-tap ang anumang simbolo para sa buong kahulugan, isang larawan, at kung ano ang ibig sabihin ng bawat titik sa ito.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Mga katanungan na tanong ng mga tao

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Bahagi ng pahinang ito ay naaayon mula sa Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Condensed at muling ipinaliwanag dito; errors ay aming.

Higit pa sa Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs