The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

ตอนนี้คุณ ไม่มีเครื่องคิดเลขที่จะคำนวณคำถามนี้ได้ แต่บางส่วนของคำถามนี้สามารถคำนวณได้ ลองใช้ตัวอย่างด้านล่างนี้ หรือพิมพ์คำถามของคุณเอง

⌨ ประเภท ✎ วาดมัน

ปัญหาคณิตศาสตร์ของคุณ

π แก้ไข

ฝึก (1)

ลองใช้กระดาษพิมพ์คำตอบก่อน แสดงคำตอบเพื่อตรวจสอบ คำตอบที่ตรวจสอบแล้วสามารถเปิดใช้ได้ในตัวแก้ไขทุกขั้นตอน

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   ทำงานผ่านมัน ข้อแนะนำ

ทำตัวให้ดีๆ

บัญชีฟรีจะเพิ่มข้อความในทุกบทเรียน ข้อมูลของสิ่งที่คุณทำเสร็จ ปัญหาที่คุณแก้ไขในที่เดียว และอาจารย์ที่คุณสามารถถามเกี่ยวกับหน้านี้ได้ คณิตศาสตร์เองก็เปิดให้ทุกคน เข้าใช้งานหรือไม่

ลงทะเบียน ล็อกอิน

สัญลักษณ์ที่ใช้ที่นี่

คลิกสัญลักษณ์ใดก็ได้ เพื่อดูคำอธิบาย รูปภาพ และความหมายของตัวอักษร

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

คำถามที่คนถาม

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ส่วนหนึ่งของหน้านี้ถูกปรับแต่งจาก Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). คำอธิบายที่อธิบายใหม่ ความผิดพลาดเป็นของเรา

เพิ่มเติมใน Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs