The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

ଏବେ ଆପଣ କୌଣସି ଗଣନା ଯନ୍ତ୍ର ଏହି ଗୋଟିଏକୁ ସମାଧାନ କରିପାରିବ ନାହିଁ, କିନ୍ତୁ ଏହାର ଅଂଶଗୁଡ଼ିକ ଗଣନାଯୋଗ୍ୟ। ତଳେ ଗୋଟିଏକୁ ଚେଷ୍ଟାକରନ୍ତୁ, କିମ୍ବା ନିଜେ ଟାଇପ କରନ୍ତୁ।

⌨ ପ୍ରକାର ✎ ଏହାକୁ ଆଙ୍କନ୍ତୁ

ଆପଣଙ୍କର ଗଣିତ ସମସ୍ୟା

π ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ (1)

ପ୍ରଥମେ ପ୍ରତ୍ୟେକଟିକୁ କାଗଜରେ ଚେଷ୍ଟାକରନ୍ତୁ। ଯାଞ୍ଚ କରିବା ପାଇଁ ଉତ୍ତରକୁ ଖୋଲନ୍ତୁ; ଯାଞ୍ଚ କରାଯାଇଥିବାଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରତିଟି ପଦକ୍ଷେପ ପାଇଁ ସମାଧାନକାରୀରେ ଖୋଲିହେବ।

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   ଏହାକୁ କାର୍ଯ୍ୟ କରନ୍ତୁ ସୂଚନା

ଆପଣଙ୍କର ନିଜ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ବଜାୟ ରଖନ୍ତୁ

ଗୋଟିଏ ମୁକ୍ତ ଖାତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଠରେ ଟିପ୍ପଣୀ ଯୋଗ କରିଥାଏ, ଆପଣ ଯାହା ସମାପ୍ତ କରିଛନ୍ତି ତାହାର ଗୋଟିଏ ରେକର୍ଡ, ଆପଣଙ୍କର ସମାଧାନ ହୋଇଥିବା ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନରେ, ଏବଂ ଜଣେ ଶିକ୍ଷକ ଆପଣ ଏହି ପୃଷ୍ଠା ବିଷୟରେ ପଚାରିପାରିବେ। ଗଣିତ ନିଜେ ସମସ୍ତଙ୍କୁ ଖୋଲା ଅଛି, ଲଗଇନ ହୋଇଥିବା କିମ୍ବା ନଥିବା।

ସଦସ୍ୟତା ନିଅନ୍ତୁ ଲଗଇନ

ଏଠାରେ ବ୍ୟବହୃତ ପ୍ରତୀକଗୁଡିକ

ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଣ୍ଣନା ପାଇଁ ଯେକୌଣସି ପ୍ରତୀକକୁ ଟ୍ୟାପ କରନ୍ତୁ, ଗୋଟିଏ ଚିତ୍ର, ଏବଂ ଏଥିରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅକ୍ଷରର ଅର୍ଥ କଣ।

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

ଲୋକମାନେ ପଚାରୁଥିବା ପ୍ରଶ୍ନ

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ଏହି ପୃଷ୍ଠାର ଅଂଶଗୁଡ଼ିକ ଏହାରୁ ଅନୁକୂଳିତ ହୋଇଛି Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). ଏଠାରେ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଏବଂ ପୁନଃ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଛି; ତ୍ରୁଟି ଆମର ।

ଅଧିକ Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs