The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

အခုတော့သင် မည်သည့်ဂဏန်းတွက်စက်ကဒီတစ်ခုကို settles, ဒါပေမဲ့ဒါဟာအပိုင်းအစ computable နေကြတယ်. အောက်မှာတစ်ခုကိုကြိုးစားကြည့်ပါ, သို့မဟုတ်သင့်ရဲ့ကိုယ်ပိုင် type.

⌨ အမျိုးအစား ✎ ရေးဆွဲပါ

သင်၏သင်္ချာပြဿနာ

π ဖြေရှင်းပါ

လေ့ကျင့်ခန်း (1)

ပထမဦးဆုံးစာရွက်ပေါ်တွင်တစ်ဦးချင်းစီကိုစမ်းသပ်ပါ။ စစ်ဆေးရန်အဖြေကိုဖွင့်လှစ်ပါ။ တိုင်းအဆင့်အတွက်ဖြေရှင်းသူတွင်ဖွင့်နိုင်သည်။

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   ဖြတ်သန်းအလုပ်လုပ်ပါ အကြံပြုချက်

သင်၏ကိုယ်ပိုင်အလုပ်လုပ်ကိုင်ထား

တစ်ဦးအခမဲ့အကောင့်ကိုအားလုံးသင်ခန်းစာအပေါ်မှတ်စုများ adds, သင်ပြီးဆုံးခဲ့သည်ဘာ၏မှတ်တမ်း, တစ်နေရာတည်းတွင်သင်၏ဖြေရှင်းပြဿနာများကို, နှင့်သင်ဤစာမျက်နှာအကြောင်းကိုမေးနိုင်ပါတယ်ဆရာ. သင်္ချာကိုယ်လူတိုင်းအတွက်ဖွင့်, သို့မဟုတ်မဟုတ်ခဲ့.

မှတ်ပုံတင် ဝင်ရောက်မှု

ဒီနေရာမှာ သုံးစွဲတဲ့ သင်္ကေတများ

ပြည့်စုံသောအဓိပ္ပါယ်ဖွင့်ဆိုချက်အတွက်မည်သည့်အက္ခရာကိုမဆိုနှိပ်ပါ၊ ဓာတ်ပုံနှင့်၎င်းတွင်စာလုံးတိုင်းကိုဆိုလိုသည်ကို။

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

လူတွေမေးတဲ့မေးခွန်းတွေ

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ဒီစာမျက်နှာ၏အစိတ်အပိုင်းများမှပြောင်းရွှေ့ကြသည် Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Condensed နှင့် re-ဒီမှာရှင်းပြ; အမှားများကျွန်တော်တို့ရဲ့ဖြစ်ကြသည်။

ပိုပြီး Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs