The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

ಈಗ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಕ್ಯಾಲುಕೇಂಟ್ ಇದನ್ನು ಸಚೇತಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ತುಂಡುಗಳು ಸಹಕಾರಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗೆ ಯಾವುದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮದನ್ನು ಟೈಪಿಸಿ.

⌨ ಬಗೆ ✎ ಚಿತ್ರಿಸು

ನಿಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸಮಸ್ಯೆ

π ಪರಿಹಾರ

ರೂಢಿ (1)

Try each one on paper first. Reveal the answer to check; verified ones can be opened in the solver for every step.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಹಾಕು ಸುಳಿವು

ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರೈಸಿ

A free account adds notes on every lesson, a record of what you have finished, your solved problems in one place, and a tutor you can ask about this page. The maths itself is open to everyone, signed in or not.

ಮೇಲೆ ಗುರುತು ಹಾಕು ಪ್ರವೇಶ (ಲಾಗಿನ್)

ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಸಂಕೇತಗಳು

ಈ ವಚನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿರುವ ಗ್ರೀಕ್‌ ಪದವು, ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

ಜನರು ಕೇಳುವುದು

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ಈ ಪುಟದ ಭಾಗಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿ ಮಾಡಲ್ಪಡುತ್ತವೆ Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). ಇಲ್ಲಿ ಕೊರೆದು ಪುನಃ ಮರುಕಳಿಸಲಾಗಿದೆ; ದೋಷಗಳು ನಮ್ಮದಾಗಿವೆ.

ಇನ್ನಷ್ಟು Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs