The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

ឥឡូវ​អ្នក គ្មាន​ម៉ាស៊ីន​គិតលេខ​ដែល​អាច​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​នេះ​បាន​ទេ ប៉ុន្តែ​វា​អាច​គណនា​បាន​ ។ ព្យាយាម​មួយ​ខាង​ក្រោម ឬ​វាយ​របស់​អ្នក​ផ្ទាល់ ។

⌨ ប្រភេទ​ ✎ គូរ​វា

បញ្ហា​គណិតវិទ្យា​របស់​អ្នក

π ដោះស្រាយ

អនុវត្ត (1)

ព្យាយាម​លើ​ក្រដាស​ជា​មុន​សិន ។ បង្ហាញ​ចម្លើយ​ដើម្បី​ពិនិត្យ​មើល ។ ចម្លើយ​ដែល​បាន​ផ្ទៀងផ្ទាត់​អាច​ត្រូវ​បាន​បើក​ក្នុង​កម្មវិធី​ដោះស្រាយ​សម្រាប់​ជំហាន​នីមួយៗ ។

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   ធ្វើការ​តាម​វា ព័ត៌មាន​ជំនួយ

រក្សា​ការ​ធ្វើការ​របស់​អ្នក​ផ្ទាល់

គណនី​ឥត​គិត​ថ្លៃ​បន្ថែម​ចំណាំ​លើ​មេរៀន​នីមួយៗ កំណត់​ហេតុ​នៃ​អ្វី​ដែល​អ្នក​បាន​បញ្ចប់ បញ្ហា​ដែល​អ្នក​បាន​ដោះស្រាយ​នៅ​កន្លែង​មួយ និង​គ្រូ​ដែល​អ្នក​អាច​សួរ​អំពី​ទំព័រ​នេះ ។ គណិតវិទ្យា​ដោយ​ខ្លួន​វា​គឺ​បើក​ចំហ​សម្រាប់​អ្នក​ទាំងអស់​គ្នា ចុះឈ្មោះ​ចូល ឬ​មិន​ចុះឈ្មោះ​ចូល ។

ចុះឈ្មោះ ចូល

និមិត្ត​សញ្ញា​ដែល​បាន​ប្រើ​នៅ​ទីនេះ

ចុច​និមិត្ត​សញ្ញា​ណាមួយ​សម្រាប់​ការ​កំណត់​ពេញលេញ រូបភាព និង​តួអក្សរ​នីមួយៗ​មាន​ន័យ​អ្វី ។

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

សំណួរ​ដែល​មនុស្ស​សួរ

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ផ្នែក​នៃ​ទំព័រ​នេះ​ត្រូវ​បាន​កែប្រែ​ពី Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). បន្សំ​និង​ពន្យល់​នៅ​ទីនេះ​ឡើងវិញ កំហុស​គឺ​របស់​យើង ។

បន្ថែម​ទៀត​ក្នុង Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs