The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Now you Ոչ մի հաշվիչ չի կարող լուծել այս խնդիրը, բայց դրա մասերը հաշվարկելի են։ Փորձեք ստորեւ նշվածներից մեկը կամ գրեք ձեր սեփականը։

⌨ Տեսակ ✎ Նկարել

Ձեր մաթեմատիկական խնդիրը

π Լրացնել

Պարզաբանում (1)

Սկզբում փորձեք յուրաքանչյուրը թղթի վրա։ Առաջին հերթին բացահայտեք պատասխանը ստուգելու համար։ Ստուգված պատասխանները կարող են բացվել յուրաքանչյուր քայլում։

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Աշխատել դրա վրա Խորհուրդ

Ձեր սեփական աշխատանքը շարունակեք

Ազատ հաշիվը յուրաքանչյուր դասավանդման համար գրառումներ է ավելացնում, Ձեր ավարտելիք դասերի և լուծված խնդիրների ցուցակ է պահում մեկ տեղում, և ուսուցիչ, ում կարող եք հարցնել այս էջի մասին։ Մաթեմատիկան բաց է բոլորի համար, անկախ նրանից մուտքագրվել եք արդյոք կամ ոչ։

Գրանցվել Գրանցում

Օգտագործված սիմվոլներ

Տեղադրեք ցանկացած նշան՝ ամբողջական սահմանման, նկարի և դրա մեջ ամեն մի տառի իմաստը տեսնելու համար։

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Հարցեր, որոնք մարդիկ տալիս են :

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Այս էջը կառուցված է հետևյալ սկզբունքով. Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Ընդհանուր և հատուկ դասակարգումներ: Ընդհանուր դասակարգում.

Ցուցադրել Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs