The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

עכשיו אתה אין מחשבון שמסדר את זה, אבל החלקים שלו ניתנים לחישוב. נסה אחד מתחת, או הקלד את שלך.

⌨ סוג ✎ צייר את זה

בעיית המתמטיקה שלך

π פתרון

תרגול (1)

נסה תחילה כל אחד על הנייר. גלה את התשובה לסימון; ניתן לפתוח את אלה המאומתים בפתרון לכל צעד.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   "תתגבר על זה. רמז

תמשיך לעבוד.

חשבון חינם מוסיף הערות על כל שיעור, תיעוד של מה שסיימת, הבעיות שלך נפתרות במקום אחד, ומורה פרטי אתה יכול לשאול על הדף הזה. המתמטיקה עצמה פתוחה לכולם, חתומה או לא.

הרשמה התחברות

סמלים המשמשים כאן

הקש כל סמל להגדרה המלאה, תמונה, ומה כל אות בזה אומר.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

שאלות שאנשים שואלים

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

חלקים מהדף הזה מותאמים Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). מעוכלים ומסבירים מחדש כאן; טעויות הן שלנו.

יותר בפנים. Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs