maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Partially Ordered Sets › Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Let \PXP be a partially ordered set. A linear order L on X is called a linear extension (also, a topological sort) of P, if x\lt y in L whenever x\lt y in P.

Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Let \(\PXP\) be a partially ordered set. A linear order \(L\) on \(X\) is called a linear extension (also, a topological sort) of \(P\), if \(x\lt y\) in \(L\) whenever \(x\lt y\) in \(P\). For example, the table displayed in shows that our familiar example \(\bfP_3\) has11 linear extensions.

The classical sorting problem studied in all elementary computer science courses is to determine an unknown linear order \(L\) of a set \(X\) by asking a series of questions of the form: Is \(x\lt y\) in \(L\)? All the well known sorting algorithms (bubble sort, merge sort, quick sort, ) proceed in this manner.

Here is an important special case: determine an unknown linear extension \(L\) of a poset \(\bfP\) by asking a series of questions of the form: Is \(x \lt y\) in \(L\)?

હવે તમે કોઈ ગણકયંત્ર આને ઉકેલતું નથી, પરંતુ તેના ટુકડાઓ ગણવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી એકનો પ્રયત્ન કરો, અથવા તમારા પોતાના લખો.

તમારા પોતાના કામ કરવાનું રાખો

મુક્ત ખાતું દરેક પાઠ પર નોંધો ઉમેરે છે, તમે જે પૂરુ કર્યું છે તેનો રેકોર્ડ, તમારી ઉકેલેલી સમસ્યાઓ એક જગ્યાએ, અને શિક્ષક તમે આ પાના વિશે પૂછી શકો છો. ગણિત પોતે જ દરેક માટે ખુલ્લું છે, પ્રવેશ કરેલ હોય કે નહિં.

નોંધણી કરો પ્રવેશ

અહીં વપરાતા સંજ્ઞાઓ

સંપૂર્ણ વ્યાખ્યા, ચિત્ર અને તેમાંના દરેક અક્ષરનો અર્થ જાણવા માટે કોઇપણ સંજ્ઞાને ટાંકો.

લોકો પૂછે છે તે પ્રશ્નો

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

આ પાનાંના ભાગો માંથી અનુરૂપ થયેલ છે Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). અહીં સંક્ષિપ્ત અને પુનઃવિચારણા કરવામાં આવી છે; ભૂલો આપણી છે.

આમાં વધુ Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs