maths.free › Category Theory › Universal properties, limits and adjunctions
Universal properties, limits and adjunctions
Products, coproducts, limits and the adjunctions that unify constructions.
A product is defined by what maps into it, not by what it is made of; the same shape of definition gives limits, colimits and free objects. Adjoint functors pair a "free" construction with a "forgetful" one. Picture it: the lcm of 4 and 6 is the least common multiple in the divisibility order, a categorical join. Think it: Yoneda: an object is determined by the arrows into it.
Робочий приклад · lcm(4, 6)
Крок за кроком
- \gcd(4, 6)
Use Euclid's algorithm: replace the larger number by its remainder on division by the smaller, until the remainder is 0.
- 6 = 1 \times 4 + 2
Divide 6 by 4: quotient 1, remainder 2.
- 4 = 2 \times 2 + 0
Divide 4 by 2: quotient 2, remainder 0.
- \gcd(4, 6) = 2
Euclid gives the gcd.
- \operatorname{lcm}(4, 6) = \frac{4 \times 6}{\gcd(4, 6)} = \frac{24}{2} = 12
lcm × gcd = a × b, so divide the product by the gcd.
Показати відповідь
Тепер ти Виберіть проблему або наберіть її на зразок. Кожен крок, малюнок, відповідь, сховану до того часу, доки ви не запитаєте.
Вільний рахунок додає нотатки до кожного уроку, запису того, що ви завершили, ваших розв' язаних проблем у одному місці, і репетитора, який ви можете запитати про цю сторінку. Сама математика відкрита для всіх, підписані чи ні.
Підписування ВхідСимволи, що тут використовуються
Взяти будь-який символ до повного визначення, зображення і що означає кожна літера.
Як це зробити?: Universal properties, limits and adjunctions
- Use Euclid's algorithm: replace the larger number by its remainder on division by the smaller, until the remainder is 0.
- Divide 6 by 4: quotient 1, remainder 2.
- Divide 4 by 2: quotient 2, remainder 0.
- Euclid gives the gcd.
- lcm × gcd = a × b, so divide the product by the gcd.
Запитання людей
What is a functor?
A map between categories that sends objects to objects and arrows to arrows while respecting composition. Taking the fundamental group of a space is a functor from spaces to groups.