maths.free › Calculus › Series and sums

Series and sums

Partial sums, closed forms and convergence.

A sum with finitely many terms has a closed form found by pattern or induction; an infinite series converges when its partial sums approach a limit. Σ 1/n² = π²/6 is the Basel problem, Euler's first famous result.

Օրինակ · sum of 1/n^2 for n = 1 to oo

Calculus · Series-And-Sums

Sum n^(-2) for n = 1 to oo

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

Քայլ առ քայլ

  1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

    Write the sum out.

  2. 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots

    The first few terms.

  3. S_{3} \approx 1.3611, S_{6} \approx 1.4914, S_{11} \approx 1.5580, S_{51} \approx 1.6255

    Partial sums approach the limit.

  4. = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449

    Infinite series: this converges, and the closed form is the limit of the partial sums.

Առաջարկել պատասխանը
\frac{\pi^{2}}{6}

Now you Ընտրեք խնդիր, կամ տեքստ գրեք կամ նկարեք ձեր սեփականը։ Յուրաքանչյուր քայլ, նկար, պատասխանը թաքնված է մինչև դուք հարցնեք։

Ձեր սեփական աշխատանքը շարունակեք

Ազատ հաշիվը յուրաքանչյուր դասավանդման համար գրառումներ է ավելացնում, Ձեր ավարտելիք դասերի և լուծված խնդիրների ցուցակ է պահում մեկ տեղում, և ուսուցիչ, ում կարող եք հարցնել այս էջի մասին։ Մաթեմատիկան բաց է բոլորի համար, անկախ նրանից մուտքագրվել եք արդյոք կամ ոչ։

Գրանցվել Գրանցում

Օգտագործված սիմվոլներ

Տեղադրեք ցանկացած նշան՝ ամբողջական սահմանման, նկարի և դրա մեջ ամեն մի տառի իմաստը տեսնելու համար։

Ինչպես: Series and sums

  1. Write the sum out.
  2. The first few terms.
  3. Partial sums approach the limit.
  4. Infinite series: this converges, and the closed form is the limit of the partial sums.

Հարցեր, որոնք մարդիկ տալիս են :

What is a derivative in one sentence?

The slope of the graph at a point, the rate at which the output is changing there. Speed is the derivative of position.

What is an integral in one sentence?

The accumulated total of a rate: the area under the curve. Distance travelled is the integral of speed.

Why are derivatives and integrals opposites?

That is the fundamental theorem of calculus: accumulating a rate and then measuring how fast the accumulation grows gets you back the rate. Integration undoes differentiation up to a constant.

When do I use substitution and when integration by parts?

Substitution when part of the integrand is the derivative of another part (u and du both present). Parts when the integrand is a product of two unrelated kinds of function, a polynomial times an exponential, log or trig function.

Ցուցադրել Calculus

LimitsDerivativesIntegralsDefinite integralsTaylor seriesMaxima and minimaThe chain ruleImplicit differentiationRelated rates and optimisationIntegration techniques: substitution, parts, partial fractionsApplications of integration: area, volume, arc lengthInfinite series and convergence tests