Other Strategies for Integration

الممارسة (40)

حاول كل واحد على الورق أولاً. كشفت الإجابة للتحقق؛ يمكن فتح الإجابات المثبتة في الحل لكل خطوة.

1. Use the table formula

   \[\int \frac{\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}}{{u}^{2}}du=-\frac{\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}}{u}-{\text{sin}}^{-1}\frac{u}{a}+C\]

   to evaluate \(\int \frac{\sqrt{16-{e}^{2x}}}{{e}^{x}}dx.\)

   إعملي على ذلك إشارة

   كشفت الإجابة

   If we look at integration tables, we see that several formulas contain expressions of the form \(\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}.\) This expression is actually similar to \(\sqrt{16-{e}^{2x}},\) where \(a=4\) and \(u={e}^{x}.\) Keep in mind that we must also have \(du={e}^{x}\text{dx}.\) Multiplying the numerator and the denominator of the given integral by \({e}^{x}\) should help to put this integral in a useful form. Thus, we now have

   \[\int \frac{\sqrt{16-{e}^{2x}}}{{e}^{x}}dx=\int \frac{\sqrt{16-{e}^{2x}}}{{e}^{2x}}{e}^{x}dx.\]

   Substituting \(u={e}^{x}\) and \(du={e}^{x}\text{dx}\) produces \(\int \frac{\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}}{{u}^{2}}du.\) From the integration table (#88 in Appendix A),

   \[\int \frac{\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}}{{u}^{2}}du=-\frac{\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}}{u}-{\text{sin}}^{-1}\frac{u}{a}+C.\]

   Thus,

   \[\begin{array}{lllll}\int \frac{\sqrt{16-{e}^{2x}}}{{e}^{x}}dx & =\int \frac{\sqrt{16-{e}^{2x}}}{{e}^{2x}}{e}^{x}dx & & & \text{Substitute}\ u={e}^{x}\ \text{and}\ du={e}^{x}dx. \\ & =\int \frac{\sqrt{{4}^{2}-{u}^{2}}}{{u}^{2}}du & & & \text{Apply the formula using}\ a=4. \\ & =-\frac{\sqrt{{4}^{2}-{u}^{2}}}{u}-{\text{sin}}^{-1}\frac{u}{4}+C & & & \text{Substitute}\ u={e}^{x}. \\ & =-\frac{\sqrt{16-{e}^{2x}}}{{e}^{x}}-{\text{sin}}^{-1}(\frac{{e}^{x}}{4})+C. & & & \end{array}\]

2. Use a computer algebra system to evaluate \(\int \frac{dx}{\sqrt{{x}^{2}-4}}.\) Compare this result with \(\text{ln}|\frac{\sqrt{{x}^{2}-4}}{2}+\frac{x}{2}|+C,\) a result we might have obtained if we had used trigonometric substitution.

   إعملي على ذلك إشارة

   كشفت الإجابة

   Using Wolfram Alpha, we obtain

   \[\int \frac{dx}{\sqrt{{x}^{2}-4}}=\text{ln}|\sqrt{{x}^{2}-4}+x|+C.\]

   Notice that

   \[\text{ln}|\frac{\sqrt{{x}^{2}-4}}{2}+\frac{x}{2}|+C=\text{ln}|\frac{\sqrt{{x}^{2}-4}+x}{2}|+C=\text{ln}|\sqrt{{x}^{2}-4}+x|-\text{ln}\ 2+C.\]

   Since these two antiderivatives differ by only a constant, the solutions are equivalent. We could have also demonstrated that each of these antiderivatives is correct by differentiating them.

3. Evaluate \({\int }^{\text{}}{\text{sin}}^{3}x\ dx\) using a CAS. Compare the result to \(\frac{1}{3}{\text{cos}}^{3}x-\text{cos}\ x+C,\) the result we might have obtained using the technique for integrating odd powers of \(\text{sin}\ x\) discussed earlier in this chapter.

   إعملي على ذلك إشارة

   كشفت الإجابة

   Using Wolfram Alpha, we obtain

   \[\int {\text{sin}}^{3}x\ dx=\frac{1}{12}(\text{cos}(3x)-9\ \text{cos}\ x)+C.\]

   This looks quite different from \(\frac{1}{3}{\text{cos}}^{3}x-\text{cos}\ x+C.\) To see that these antiderivatives are equivalent, we can make use of a few trigonometric identities:

   \[\begin{array}{ll}\frac{1}{12}(\text{cos}(3x)-9\ \text{cos}\ x) & =\frac{1}{12}(\text{cos}(x+2x)-9\ \text{cos}\ x) \\ & =\frac{1}{12}(\text{cos}(x)\text{cos}(2x)-\text{sin}(x)\text{sin}(2x)-9\ \text{cos}\ x) \\ & =\frac{1}{12}(\text{cos}\ x(2\ {\text{cos}}^{2}x-1)-\text{sin}\ x(2\ \text{sin}\ x\ \text{cos}\ x)-9\ \text{cos}\ x) \\ & =\frac{1}{12}(2{\text{cos}}^{3}x-\text{cos}\ x-2\ \text{cos}\ x(1-{\text{cos}}^{2}x)-9\ \text{cos}\ x) \\ & =\frac{1}{12}(4{\text{cos}}^{3}x-12\ \text{cos}\ x) \\ & =\frac{1}{3}{\text{cos}}^{3}x-\text{cos}\ x.\end{array}\]

   Thus, the two antiderivatives are identical.

   We may also use a CAS to compare the graphs of the two functions, as shown in the following figure.

4. Use a CAS to evaluate \(\int \frac{dx}{\sqrt{{x}^{2}+4}}.\)

   إعملي على ذلك إشارة

   كشفت الإجابة

   Possible solutions include \({\text{sinh}}^{-1}(\frac{x}{2})+C\) and \(\text{ln}|\sqrt{{x}^{2}+4}+x|+C.\)

5. \(\int _{0}^{4}\frac{x}{\sqrt{1+2x}}dx\)

   إعملي على ذلك إشارة

6. \(\int \frac{x+3}{{x}^{2}+2x+2}dx\)

   إعملي على ذلك إشارة

   كشفت الإجابة

   \(\frac{1}{2}\text{ln}|{x}^{2}+2x+2|+2\ \text{arctan}(x+1)+C\)

7. \(\int {x}^{3}\sqrt{1+2{x}^{2}}\ dx\)

   إعملي على ذلك إشارة

8. \(\int \frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+6x}}dx\)

   إعملي على ذلك إشارة

   كشفت الإجابة

   \({\text{cosh}}^{-1}(\frac{x+3}{3})+C\)

9. \(\int \frac{x}{x+1}dx\)

   إعملي على ذلك إشارة

10. \(\int x\cdot {2}^{{x}^{2}}dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(\frac{{2}^{{x}^{2}-1}}{\text{ln}\ 2}+C\)

11. \(\int \frac{1}{4{x}^{2}+25}dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

12. \(\int \frac{dy}{\sqrt{4-{y}^{2}}}\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(\text{arcsin}(\frac{y}{2})+C\)

13. \(\int {\text{sin}}^{3}(2x)\text{cos}(2x)dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

14. \(\int \text{csc}(2w)\text{cot}(2w)dw\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(-\frac{1}{2}\text{csc}(2w)+C\)

15. \(\int {2}^{y}dy\)

    إعملي على ذلك إشارة

16. \({\int }_{0}^{1}\frac{3x\ dx}{\sqrt{{x}^{2}+8}}\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(9-6\sqrt{2}\)

17. \({\int }_{-1\text{/}4}^{1\text{/}4}{\text{sec}}^{2}(\pi x)\text{tan}(\pi x)dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

18. \({\int }_{0}^{\pi \text{/}2}{\text{tan}}^{2}(\frac{x}{2})dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(2-\frac{\pi }{2}\)

19. \(\int {\text{cos}}^{3}x\ dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

20. \(\int {\text{tan}}^{5}(3x)dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(\frac{1}{12}{\text{tan}}^{4}(3x)-\frac{1}{6}{\text{tan}}^{2}(3x)+\frac{1}{3}\text{ln}|\text{sec}(3x)|+C\)

21. \(\int {\text{sin}}^{2}y\ {\text{cos}}^{3}ydy\)

    إعملي على ذلك إشارة

22. [T] \(\int \frac{dw}{1+\text{sec}(\frac{w}{2})}\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(2\ \text{cot}(\frac{w}{2})-2\ \text{csc}(\frac{w}{2})+w+C\)

23. [T] \(\int \frac{dw}{1-\text{cos}(7w)}\)

    إعملي على ذلك إشارة

24. [T] \({\int }_{0}^{t}\frac{dt}{4\ \text{cos}\ t+3\ \text{sin}\ t}\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(\frac{1}{5}\text{ln}|\frac{2(5+4\ \text{sin}\ t-3\ \text{cos}\ t)}{4\ \text{cos}\ t+3\ \text{sin}\ t}|\)

25. [T] \(\int \frac{\sqrt{{x}^{2}-9}}{3x}dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

26. [T] \(\int \frac{dx}{{x}^{1\text{/}2}+{x}^{1\text{/}3}}\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(6{x}^{1\text{/}6}-3{x}^{1\text{/}3}+2\sqrt{x}-6\ \text{ln}[1+{x}^{1\text{/}6}]+C\)

27. [T] \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x-1}}\)

    إعملي على ذلك إشارة

28. [T] \(\int {x}^{3}\text{sin}\ x\ dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(\text{-}{x}^{3}\text{cos}\ x+3{x}^{2}\text{sin}\ x+6x\ \text{cos}\ x-6\ \text{sin}\ x+C\)

29. [T] \(\int x\sqrt{{x}^{4}-9}\ dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

30. [T] \(\int \frac{x}{1+{e}^{\text{-}{x}^{2}}}dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(\frac{1}{2}({x}^{2}+\text{ln}|1+{e}^{\text{-}{x}^{2}}|)+C\)

31. [T] \(\int \frac{\sqrt{3-5x}}{2x}dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

32. [T] \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x-1}}\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(2\ \text{arctan}(\sqrt{x-1})+C\)

33. [T] \(\int {e}^{x}{\text{cos}}^{-1}({e}^{x})dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

34. [T] \({\int }_{0}^{\pi \text{/}4}\text{cos}(2x)dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(0.5=\frac{1}{2}\)

35. [T] \({\int }_{0}^{1}x\cdot {e}^{\text{-}{x}^{2}}dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

36. [T] \({\int }_{0}^{8}\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}+36}}dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    8.0

37. [T] \({\int }_{0}^{2\text{/}\sqrt{3}}\frac{1}{4+9{x}^{2}}dx\)

    إعملي على ذلك إشارة

38. [T] \(\int \frac{dx}{{x}^{2}+4x+13}\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(\frac{1}{3}\text{arctan}(\frac{1}{3}(x+2))+C\)

39. [T] \(\int \frac{dx}{1+\text{sin}\ x}\)

    إعملي على ذلك إشارة

40. \(\int \frac{dx}{{x}^{2}+2x+10}\)

    إعملي على ذلك إشارة

    كشفت الإجابة

    \(\frac{1}{3}\text{arctan}(\frac{x+1}{3})+C\)

أجزاء من هذه الصفحة مستمدة من OpenStax Calculus Volume 2 (CC BY-NC-SA 4.0). لقد تم تلخيصها وإعادة شرحها هنا؛ والأخطاء هي أخطائنا. وبما أن مصدره مرخص للاستخدام غير التجاري، فإن هذا الدرس مجاني، ولا يبيع شيئاً، ويجري تقاسمه بموجب نفس الترخيص.

أكثر في Calculus

LimitsDerivativesIntegralsDefinite integralsTaylor seriesSeries and sumsMaxima and minimaThe chain ruleImplicit differentiationRelated rates and optimisationIntegration techniques: substitution, parts, partial fractionsApplications of integration: area, volume, arc lengthInfinite series and convergence tests