maths.free › Category Theory › Universal properties, limits and adjunctions
Universal properties, limits and adjunctions
Products, coproducts, limits and the adjunctions that unify constructions.
A product is defined by what maps into it, not by what it is made of; the same shape of definition gives limits, colimits and free objects. Adjoint functors pair a "free" construction with a "forgetful" one. Picture it: the lcm of 4 and 6 is the least common multiple in the divisibility order, a categorical join. Think it: Yoneda: an object is determined by the arrows into it.
Shembulli i punuar · lcm(4, 6)
Hap pas hapi
- \gcd(4, 6)
Use Euclid's algorithm: replace the larger number by its remainder on division by the smaller, until the remainder is 0.
- 6 = 1 \times 4 + 2
Divide 6 by 4: quotient 1, remainder 2.
- 4 = 2 \times 2 + 0
Divide 4 by 2: quotient 2, remainder 0.
- \gcd(4, 6) = 2
Euclid gives the gcd.
- \operatorname{lcm}(4, 6) = \frac{4 \times 6}{\gcd(4, 6)} = \frac{24}{2} = 12
lcm × gcd = a × b, so divide the product by the gcd.
Zbulo përgjigjen
Tani ti. Zgjidh një problem, shkruaj apo vizato tënd. Çdo hap, një imazh, përgjigja e fshehur deri sa të pyesësh.
Një llogari e lirë shtohet shënime në çdo mësim, një regjistrim të asaj që ju keni përfunduar, problemet tuaja të zgjidhura në një vend, dhe një mësues që ju mund të pyesni rreth kësaj faqeje. Matematika vetë është e hapur për të gjithë, të regjistruar apo jo.
Regjistrohu HyrSimbolet e përdorura këtu
Prek çdo simbol për përkufizimin e plotë, një fotografi dhe se çfarë do të thotë çdo shkronjë në të.
Si: Universal properties, limits and adjunctions
- Use Euclid's algorithm: replace the larger number by its remainder on division by the smaller, until the remainder is 0.
- Divide 6 by 4: quotient 1, remainder 2.
- Divide 4 by 2: quotient 2, remainder 0.
- Euclid gives the gcd.
- lcm × gcd = a × b, so divide the product by the gcd.
Pyetja që bëjnë njerëzit
What is a functor?
A map between categories that sends objects to objects and arrows to arrows while respecting composition. Taking the fundamental group of a space is a functor from spaces to groups.